---------------------------------

۱) ثابت کنید در هر چهار ضلعی دلخواه، خطی که اوساط دو قطر را به هم وصل می کند و میانه های چهار ضلعی همرسند. (میانه چهار ضلعی، خطی است که اوساط دو ضلع مقابل را به هم وصل می کند)

 ---------------------------------

۲) ثابت کنید میانه های چهارضلعی با هم برابرند اگر و تنها اگر قطرهای آن بر هم بر هم عمود باشند.

 ---------------------------------

۳) اگر نقطه P خارج مستطیل ABCD باشد ثابت کنید:

PA2 + PC2 = PB2 + PD2

 ---------------------------------

۴) مستطیلهای ABDE ، BCFG و CAHI را به طرف خارج روی اضلاع مثلث ABC به طرف خارج رسم میکنیم. ثابت کنید عمودمنصفهای DG ، FI و HE در یک نقطه همرسند.

 ---------------------------------

۵) در مثلث ABC راس A قائمه است. از A خطی دلخواه میگذرانیم و عمودهای BB' و CC' را بر این خط رسم میکنیم. اگر A' قرینه A نسبت به وسط B'C' باشد ثابت کنید BA'C=90 .


 ---------------------------------

۶) (قضیه لابنیتز) G مرکز ثقل مثلث ABC و M نقطه ای دلخواه در صفحه است. ثابت کنید:

3MG2 + ( AB2 + AC2 + BC2 )/3 = MA2 + MB2 + MC2

 ---------------------------------

7) دایره محاطی داخلی مثلث ABC بر ضلعهای AB و AC در C’ و B’ مماس است. دایره محاطی خارجی رو به رو به راس A (دایره ای که بر BC و امتداد AB و AC مماس است) بر امتداد AB و AC در C’’ و B’’ مماس است. میانه وارد بر BC و امتداد آن، B’C’ و B’’C’’ را در E و F قطع میکند. ثابت کنید BECF متوازی الاضلاع است.

 ---------------------------------

8) D پای نیمساز زاویه A در مثلث ABC است. از A خط d را مماس بر دایره محیطی مثلث رسم میکنیم. ثابت کنید خطی که از D موازی با d رسم میشود، بر دایره محاطی داخلی مثلث مماس است.

 ---------------------------------

9) D و سط میانه AM از مثلث ABC است. ثابت کنید قرینه مرکز دایره محیطی نسبت به D، روی ارتفاع وارد بر BC قرار دارد.

 ---------------------------------

10) نقاط M و N روی اضلاع AB و AC در مثلث ABC به نحوی انتخاب میشوند که داشته باشیم BM+CN=MN. ثابت کنید تمام این پاره خطهای MN بر یک دایره ثابت مماسند.

 ---------------------------------

11) در مثلث قائم الزاویه ABC(A=90) H پای ارتفاع وارد بر BC است. D نقطه ای در صفحه است به طوری که BD=AB. اگر O مرکز دایره محیطی مثلث BCD باشد، ثابت کنید BO بر HD عمود است.

 ---------------------------------

12) AH ارتفاع مثلث ABC است. از H عمودهای HD و HE را بر AB و AC وارد میکنیم. ثابت کنید اگر AH2 = 2 r2  آنگاه DE از مرکز دایره محیطی مثلث میگذرد.(r طول شعاع دایره محاطی داخلی است)

 ---------------------------------

13) چهار ضلعی ABCD مفروض است. ثابت کنید چهار خطی که از وسط یک ضلع بر ضلع رو به رو عمود میشوند همرسند.

 ---------------------------------

14) سه خط سوایی AA' ، BB' و CC' در مثلث ABC در نقطه M همرسند. ثابت کنید اگر M محل برخورد میانه های A'B'C' باشد آنگاه محل برخورد میانه های ABC نیز است.

 ---------------------------------

15) P نقطه ای دلخواه داخل مثلث ABC است. قرینه های P را نسبت به اوساط اضلاع BC ، AC و AB به ترتیب P1 ، P2 و P3 می نامیم. ثابت کنید AP1 ، BP2 و CP3 همرسند.

---------------------------------