بزرگی به من گفت: وقتی تنها بازی می کنید، راضی به خانه باز می گردید، چرا که نه برنده و نه بازنده ای در کار است. گفتم: در چنین کاری چه لذتی هست؟ شما هم خواهید گفت: چه لذتی دارد که من دوباره مثلث های اقلیدسی را بازخوانی و تکرار کنم؟ او با اعداد بازی کرد تا توانست راز آن ها را کشف کند، من چه سودی از بازی با آن ها می برم؟

در پاسخ شما به طور خلاصه می گویم:«در بازی با اعداد، آن ها را مطالعه و بررسی و در ذهن خود مجسم خواهید کرد و چه بسا در این میانه چیزهایی را هم کشف کنید، دیگران پیش از شما کشف کرده باشند؛ اشکالی ندارد، چرا که شما آن را شخصا و برای خود کشف کرده اید، و چه بسا فردا مطلبی برای تمام جهانیان کشف کنید.»

مثلا در مثلث:

 

12=1

(x+1)2=x2+2x+1

(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1

و غیره...، ما مجموع ضرایب هر سطر را بررسی کردیم و دیدیم آن ها 1، 4، 9، 16، ... یعنی مجذور اعداد هستند، آیا این عجیب و سؤال برانگیز است؟ من از خود دلیل این پدیده را پرسیدم، که پاسخی به این شکل به نظرم رسید:«اگر در این مثلث،  xرا مساوی با یک قرار دهم، مثلث جدیدی بدین شکل ایجاد می شود:

12=1

22=1+2+1=4

32=1+2+3+2+1=9

و به همین ترتیب...»

هرگاه علت کاری روشن می شود، تعجب و شگفتی زدوده می شود. من از این بازی راضی و خرسند بازگشتم، چرا که نه برنده ای و نه بازنده ای وجود دارد.

مثلث کرجی

بدون شک ابوبکر محمد بن حسن کرجی از بزرگترین دانشمندان مسلمان در علم جبر به شمار می رود. او نویسنده ی دو کتاب «الفخری»و «البدیع» است که در آن ها علم جبر به روشن ترین و آشکار ترین و کامل ترین شکل ممکن در دوره ی اسلامی، بیان شده است.

کرجی نیز شیفته ی بازی با اعداد بود، او بازی زیر را، که غربی ها نادرست مثلث پاسکال می نامند، کشف و وضع کرد.

111=                                                                                1 1

112=                                                                             1  2  1

113=                                                                          1   3   3   1

114 =                                                                       1   4    6    4  1 

115=                                                                     1    5   10  10  5   1                                                              

116=                                                                   1    6   15   20   15  6  1

توجه کنید چگونه مثلث ساخته می شود:

1-       با عدد 11 شروع می کنید، و میان دو مرتبه فاصله ی مضاعف می گذارید.

2-       مجموع دو رقم را در سطر بعدی، زیر فاصله میان آن دو، قرار می دهید، و در دو طرف مجموع این اعداد، عددهای 1و1 می گذارید و همواره میان مرتبه های حسابی دو برابر فاصله می گذارید.

3-       در فاصله ی میان هر دو مرتبه، مجموع آن ها را در سطر بعدی قرار می دهید، و در دو طرف مجموع ها اعداد 1و1 می گذارید.

4-       این روند را، تا هر تعداد سطری که می خواهید، تکرار می کنید.

سؤال: مثلث کرجی، یک مثلث توانهای 11 یعنی 10+1 می باشد. حال یک مثلث توانهای 101 یعنی 100+1 و یک مثلث توانهای x+1 چگونه خواهد بود؟

توجه: مثلث کرجی یک مثلث توانهای x+1 است ولی در آن تنها ضرایب x آمده است. به مطلب زیر توجه کنید:

111=11                                          x+1=1x+1

112=121                                        (x+1)2=x2+2x+1

113=1331                                      (x+1)2=x3+3x2+3x+1

از این رو مثلث کرجی، به مثلث ضریب دوجمله ای معروف است، و این دو جمله عبارت است از 1+x که به هر توان دلخواهی رسیده است.

چه کسی مبتکر این مثلث بود؟ چینی ها ادعای ابتکار آن را دارند، چون این مثلث بر روی جلد کتابی که در سال 1302 میلادی نگاشته شده، به چشم می خورد. ولی پیش از این، چینی ها در رصد خانه ی مراغه، که توسط دانشمند مسلمان، خواجه نصیرالدین طوسی اداره می شد، کار می کردند. خواجه نصیرالدین طوسی در یکی از کتاب هایش، که در اواسط قرن دوازدهم میلادی به رشته ی تحریر در آورده، آن مثلث را ذکر کرده است. لازم به ذکر است که ابو بکر بن محمد بن حسن کرجی، مبتکر این مثلث، در سال 410 هجری مطابق با 1019 میلادی دار فانی را وداع گفت.(خدایش بیامرزاد)

با مثلث کرجی بازی کنید: اگر خواستید آن را تا 10 سطر یا 20 سطر ادامه دهید. مجموع اعداد هر سطر را بیابید. اگر چیز جدیدی کشف کردید، به دنبال دلیلش بروید.

هر گاه با حساب و اعداد بازی می کنید، بدانید که تنها نیستید، چرا که تمام ریاضیدانان جهان با شما هستند، به ویژه وقتی چیز جدیدی کشف می کنید.