ضیه کارنو) ثابت کنید برای اینکه عمودهای وارد از نقطه های D و E و F به ترتیب بر ضلعهای BC و CA و AB از مثلث ABC در یک نقطه متقاطع باشند، لازم و کافی است که:

    BD2 - BF2 + AF2 - AE2 + CE2 - CD2 = 0


ثابت کنید هرگاه یکی از زاویه های مثلثی ۱۲۰ باشد، مثلثی که با پای نیمسازهای آن تشکیل می شود قائم الزاویه است.


فرض کنید M و N معرف نقطه های تماس دایره محاطی مثلث ABC با ضلعهای BC و BA باشد و K نقطه برخورد نیمساز زاویه A و خط MN باشد. ثابت کنید AKC = 90 > .

 


دایره ای بر مثلث متساوی الاضلاع ABC محیط و نقطه دلخواه M بر کمان BC اختیار می شود. ثابت کنید: AM = BM + CM.

 

یک دایره و نقطه A در بیرون این دایره مفروض اند. خطهای راست AB و AC در نقاط B و C بر دایره مماس اند. ثابت کنید مرکز دایره محاطی مثلث ABC بر دایره مفروض قرار دارد.

 

ثابت کنید که مجموع مربعهای طول قطرهای متوازی الاضلاع برابر است با مجموع مربعهای طول ضلعهای آن.